学军分班考21题目：求202120212021^{2021}的末两位数

方案一、二项式展开

基础：杨辉三角 的浅要理解

杨辉三角

杨辉三角
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二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...Cnnan−rbn(n∈N∗)(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+...C_n^na^{n-r}b^n(n\in N^*)

展开通项：Tr+1=Cnran−rbrT_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r(第r+1项)

e.g.求202120202021^{2020}

将 2021 = 2000 + 20 + 1 裂成三项，在模 10^2 剩余类环中，2000 和 20 都是幂零元，它们满足

20002≡0 (mod  105),205≡0 (mod  105)2000^2\equiv0\,(\mathrm{mod}\;10^5) ,\qquad 20^5\equiv0\,(\mathrm{mod}\;10^5).

这使得展开式的项数截断到幂零阶数以内。我们有

(2000+21)2020=C20200×20000×212020+C20201×20001×212019+⋯(2000+21)^{2020}=C_{2020}^0\times2000^0\times21^{2020}+C_{2020}^1\times2000^1\times21^{2019}+\cdots

被省略的项后 5 位都是 0，故仅保留前 2 项有

20212020≡212020+2020×2000×212019≡212019×40021 (mod  105)2021^{2020}\equiv 21^{2020}+2020\times2000\times21^{2019}\equiv 21^{2019}\times 40021\,(\mathrm{mod}\;10^5)

然后用二项式继续展开

(20+1)2019=1+2019×20+C20192×202+C20193×203+C20194×204+⋯(20+1)^{2019}=1+2019\times 20+C_{2019}^2\times 20^2+C_{2019}^3\times 20^3+C_{2019}^4\times 20^4+\cdots

前 5 项对后 5 位都有贡献，组合数很大不好算，而且还有除法，不能提前取模。可以像小学生一样约分、分解质因数做。算了，还是直接用电脑上的大数计算器算出来，最后结果

212019≡1+40380+68400+52000+60000≡20781 (mod  105)21^{2019}\equiv 1+40380+68400+52000+60000\equiv20781\,(\mathrm{mod}\;10^5)

于是有

20212020≡20781×40021≡76401 (mod  105).2021^{2020}\equiv20781\times 40021\equiv76401\,(\mathrm{mod}\;10^5).

方案二、快速幂取模

求末两位数字就是mod(100)mod(100)后的结果

$2021^{2021} \bmod 100 $

=[(2021 mod 100)∗(2021 mod 100)]1010∗2021 mod 100=[(2021 \bmod 100)*(2021 \bmod 100)]^{1010}*2021 \bmod 100

=[(21∗21) mod 100]1010∗21=[(21*21) \bmod 100]^{1010}*21

=41505∗21=41^{505}*21

=01101∗21=01^{101}*21

=21=21

方案三、周期观察

显然 2021 任意次幂个位都是 1。求十位的话，观察最后两位的周期：21, 41, 61, 81, 01, 21, …以上每步乘 2021 取后两位，发现结果以 5 为周期。所以 202120212021^{2021} 最后两位是 21。

方案四、死算（不推荐，考试无法求出可以直接放弃）

1.win自带

打开计算器 ，调到科学型，然后输入 2020=2021  xy  2020=，2020=2021\;\boxed{x^y}\;2020= ，会出来一长串数字，再按下 mod 100000=，\boxed{\mathrm{mod}}\,100000= ，答案就出来了

2.python

打开IDLE,输入

1
pow(2021,2021,100)

例题

求202320232023^{2023}的末五位数

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