幂 | Panjoel's Blog

幂（power）是指乘方运算的结果。 $n^m$ 指该式意义为m个n相乘。把 $n^m$ 看作乘方的结果，叫做n的m次幂，也叫n的m次方。

数学中的“幂”，是“幂”这个字面意思的引申，“幂”原指盖东西布巾，数学中“幂”是乘方的结果，而乘方的表示是通过在一个数字上加上标的形式来实现的，故这就像在一个数上“盖上了一头巾”，在现实中盖头巾又有升级的意思，所以把乘方叫做幂正好契合了数学中指数级数快速增长含义，形式上也很契合，所以叫做幂。

幂不符合结合律和交换律。

因为十的次方很易计算，只需在后加零即可，所以科学记数法借助此简化记录数的方式；二的次方在计算机科学中很有用。

幂指乘方运算的结果。 $n^m$ 指 $m$ 个 $n$ 相乘。把 $n^m$ 看作乘方的结果，叫做 $n$ 的 $m$ 次幂。

其中， $n$ 称为底数， $m$ 称为指数（写成上标）。当不能用上标时，例如在编程语言或电子邮件中，通常写成 $n^m$ 或 $n**m$ ，亦可以用高德纳箭号表示法，写成 $n↑m$ ，读作“ $n$ 的 $m$ 次方”或者 $n$ 的 $m$ 次幂。

当指数为 $1$ 时，通常不写出来，因为那和底的数值一样；指数为 $2、3$ 时，可以读作“ $n$ 的平方”、“ $n$ 的立方”。

$n^0=1$

幂的指数是负数时，等于 $\frac{1}{n^m}$

分数为指数的幂定义为 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ 。

证：

令 ( $a^m$ ) 开 $n$ 次方 = $b$

两边取 $n$ 次方，有

$a^m = b^n$

$a^{\frac{m}{n}}= a^{m(\frac{1}{n})} = (b^n)^{(\frac{1}{n})} = b = a^m$ 开 $n$ 次方

即 $a^{\frac{m}{n}} = (a^m)$ 开 $n$ 次方

幂不符合结合律和交换律。

先通过幂的计算，然后根据结果的大小，来进行比较的。

在指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。

在底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。

将两个幂相减，根据其差与0的比较情况，来确定两个幂的大小。

将两个幂相除，然后通过商与1的大小关系，比较两个幂的大小。

将两个幂乘方后化为同指数幂，通过进行比较结果，来确定两个幂的大小。

通过选一个与两个幂中一个幂相接近的幂作定值，然后用两个幂与所选取的定值相比较，由此来确定两个幂的大小。