倍增 | Panjoel's Blog

一、ST表

1.预处理

$f[i][j]$ 表示从i开始的长度为2j的区间 $（$ 即区间 $[i,i+2j−1]）$

递推公式 $（j$ 在外层递增 $）：$

f[i][j]=max{f[i][j−1],f[i+2j−1][j−1]}

即将区间 $[l,r]$ 分为两个区间合并

2.查询

分为两段，第一段为区间 $[l,2k]$ ，第二段为区间 $[r−2k+1,r]$ ，其中 $k$ 为满足 $2k≤r−l+1$ 的所有数中最大的那个数

即区间 $[l,r]$ 的最大值为 $max{f[l][k],f[r−2k+1][k]}$

3.例子

忠诚洛谷 P1816

多次查询区间最小值

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int m,n;
#define MAXN 100001
#define LOG 18
int st[MAXN][LOG];
int lg2[MAXN];
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &m);
    memset(st, 0x3f, sizeof st);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d", &st[i][0]);
    for(int len=1;len<LOG;++len)
        for(int i=1;i+(1<<len)-1<=n;++i)
            st[i][len]=min(st[i][len-1], st[i+(1<<(len-1))][len-1]);
    for(int i=2;i<=n;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    while(m--){
        int l,r;scanf("%d %d", &l, &r);
        int sz=lg2[r-l+1];
        printf("%d ", min(st[l][sz], st[r+1-(1<<sz)][sz]));
    }
    return 0;
}

二、树上倍增

1.求解LCA

(1) 预处理

首先结合dfs预处理出 $f[i][j]，f[i][j]$ 表示节点i向上跳2j层的节点

递推公式：

f[i][j]=f[f[i][j−1]][j−1]

即节点i分两次向上跳，每次跳 $2^{j−1}$ 层跳到的节点就是节点 $i$ 向上跳 $2^j$ 层的节点 $（2^{j−1}×2=2^j）$

void load(int x, int fa){
    f[x][0]=fa;
    dep[x]=dep[fa]+1;
    for(int i=1;i<20;++i)
        f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
}
void dfs(int u, int fa){
    load(u, fa);
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
    }
}

同时也可以像下面预处理出 $log^n_2$ 的所有值以优化常数

1 2	for(int i=2;i<=tot;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

(2) 查询

首先使两个查询节点跳至同一高度后（因为它们的最近公共祖先不可能低于这两点，跳跃方法同下），当前层记为 $x$ ，然后从 $log^x_2$ 到 $0$ 枚举（递减能保证可以完全分解成二进制） $j$ ，如果上跳 $2^j$ 层后不重合，那么就继续跳，重合则不跳，使两点层数一直逼近最近公共祖先，最后跳完 $2^0$ 层后，两点必定会停在最近公共祖先的下一层，所以最后直接取当前层 $i$ 的 $f[i][0]$ 就好了。

其中，可以直接从最大可能的 $i$ 开始枚举，因为反正 $i$ 也很小。

inline int lca(int a, int b){
    if(dep[a]<dep[b]) swap(a, b);
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(dep[f[a][i]]>=dep[b])
            a=f[a][i];
    if(a==b) return a;
    for(int i=20;i>=0;--i)
        if(f[a][i]!=f[b][i])
            a=f[a][i], b=f[b][i];
    return f[a][0];
}

这是一种在线求LCA的算法，其实还有Tarjan这种效率高的离线算法。

2. $O(1)$ 求LCA

另外还有一种 $nlogn$ 预处理，每次 $O(1)$ 查询的方法。

即用欧拉序 $+RMQ$ 可实现 $O(1)$ 求得 $LCA$ 。先 $dfs$ 全树，记录欧拉序（就是记下 $dfs$ 走过的节点），然后在欧拉序上以节点深度作为权值建 $ST$ 表，每次查欧拉序上深度最小的点即为 $LCA$ 。此时将问题转换为区间求最小值 $RMQ$ 问题。

(1)预处理

void dfs(int u, int fa){
    dfn[u]=++tot;
    f[tot][0]=u;
    dep[u]=dep[fa]+1;
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
        int v=vv[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v, u);
        f[++tot][0]=u; // 再记录
    }
}

for(int i=1;i<20;++i)
    for(int j=1;j+(1<<i)-1<=tot;++j)
        if(dep[f[j][i-1]]<dep[f[j+(1<<(i-1))][i-1]])
            f[j][i]=f[j][i-1];
		else
            f[j][i]=f[j+(1<<(i-1))][i-1];
for(int i=2;i<=tot;++i)
    lg2[i]=lg2[i>>1]+1; // 预处理log2n

(2)查询

int lca(int a, int b){
    int l=dfn[a],r=dfn[b];
    if(l>r) swap(l,r);
    int lg=lg2[r-l+1];
    if(dep[f[l][lg]]<dep[f[r-(1<<lg)+1][lg]])
        return f[l][lg];
    else return f[r-(1<<lg)+1][lg];
}