二次函数专题1

二次函数专题

二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 根的分布问题

1. $x_1<x_2<k$

通过上图可知

当$a>0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a>0 \\ \Delta >0 \\ -\frac{b}{2a}<k \\ f(k)>0 \end{aligned} \right.$

当$a<0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a<0 \\ \Delta >0 \\ -\frac{b}{2a}<k \\ f(k)<0 \end{aligned} \right.$

2. $x_1<k<x_2$

当$a>0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a>0 \\ \Delta >0 \\ f(k)>0 \end{aligned} \right.$

当$a<0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a<0 \\ \Delta >0 \\ f(k)<0 \end{aligned} \right.$

3. $k<x_1<x_2$

当$a>0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a>0 \\ \Delta >0 \\ -\frac{b}{2a}>k \\ f(k)>0 \end{aligned} \right.$

当$a<0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a<0 \\ \Delta >0 \\ -\frac{b}{2a}>k \\ f(k)<0 \end{aligned} \right.$

4. $k_1<x_1<x_2<k_2$

当$a>0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a>0 \\ \Delta >0 \\ k_1<-\frac{b}{2a}<k_2 \\ f(k_1)>0 \\ f(k_2)>0 \end{aligned} \right.$

当$a<0$时，

$\left\{ \begin{aligned} a<0 \\ \Delta >0 \\ k_1<-\frac{b}{2a}<k_2 \\ f(k_1)<0 \\ f(k_2)<0 \end{aligned} \right.$

5. 若在$(k_1,k_2)$内有且只有一个根

$Tips$：

区间根定理

假设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且函数值$f(a)$与$f(b)$异号（即一正一负（$ab<0$））。则在开区间$(a，b)$上必定存在至少一个$c$，使得$f(c)=0$。

因此我们可以得出以下结论

$\left\{ \begin{aligned} \Delta >0 \\ k_1 \cdot k_2 <0 \end{aligned} \right.$

这题就这样圆满的结束了？

Congratulations ! 🎉 🎉 🎉

你进入出题者的陷阱中

现在我来给你分析一下

首先，$\Delta$一定大于$0$吗？

当$\Delta = 0$时，我们可以发现

$x$轴正好相切抛物线，因此符合题目要求

然后，$x_1$与$k_1$重合或$x_2$与$k_2$重合时，会发生怎样的结果呢？

由此可见，分类讨论是数学的重要思想

含参最值讨论问题

课后习题（答案下回分晓）

已知函数$f(x)=x^2-2ax+4$在区间$[1,4]$上的最小值为-8，求参数$a$的值